κώνος

I

(Γεωλ.). Σχηματισμοί που δημιουργούνται από υδάτινα ρεύματα, κυρίως χειμαρρώδους χαρακτήρα, όταν από μια απρόοπτη μείωση της κλίσης της κοίτης ελαττώνεται η ταχύτητα του νερού, με αποτέλεσμα να αποτίθενται υπό μορφή βεντάλιας (ριπιδίου) ή κ. τα υλικά που αιωρούνται σε αυτά. Οι κ. ονομάζονται και αλλουβιακά ριπίδια. Παρόμοιες αποθέσεις αποκτούν σχήμα ψευδοκωνικό, με την κορυφή προς τα πάνω, όπου συγκεντρώνεται το μεγαλύτερο πάχος τους. Η κλίση τους μπορεί να ποικίλλει αρκετά, παρουσιάζοντας ένα μέγιστο στις εκβολές του χειμάρρου προς τις κύριες κοιλάδες, ενώ παίρνει ένα ελάχιστο στους ποταμούς που εκβάλλουν σε πεδιάδα ή σε λίμνη.

Οι κ. αποθέσεων διακρίνονται σε: σύνθετους, οι οποίοι αποτελούνται από τη συνένωση περισσότερων του ενός· μεικτούς, οι οποίοι αποτελούνται από ανάμεικτα υλικά, φερτές ύλες ποταμών και υλικά κατολισθήσεων· ποταμιοπαγετώδεις, οι οποίοι σχηματίζονται από προσχωσιγενείς αποθέσεις και μορενικά κλαστικά υλικά· κ. κορημάτων, οι οποίοι αποτελούνται από πλευρικά κορήματα και σχηματίζονται στις πλαγιές των βουνών με ισχυρή κλίση ή αποτίθενται στη βάση του βουνού· και τέλος, κ. χιονοστιβάδων, σχηματισμούς όμοιους με τους προηγούμενους, οι οποίοι προέρχονται από την ολίσθηση ή την καθίζηση χιονοστιβάδων και τη συγκέντρωσή τους στη βάση. Το χιόνι μπορεί μερικές φορές να συνοδεύεται από παγετώνα και κλαστικά υλικά πετρωμάτων διαφόρων μεγεθών.

Κατά το παρελθόν, στις όχθες ή και πάνω στους κ. απόθεσης αναπτύχθηκαν οικισμοί, παρά τον φανερό κίνδυνο από τις φερτές ύλες, επειδή το έδαφος των προσχώσεων είναι γόνιμο, καταλληλότατο για καλλιέργεια και ευνοείται επιπλέον από την παρουσία του νερού.

II

(Ζωολ.). Γένος θαλάσσιων προσωβραγχίων γαστεροπόδων της οικογένειας των κωνιδών, της τάξης των νεογαστεροπόδων. Το γένος αυτό (Conus) περιλαμβάνει περισσότερα από 600 σύγχρονα είδη, τα οποία ταξινομούνται σε πολλά υποείδη και μορφές με διαφορετικό χρώμα κοχυλιών, ενώ σημαντικός είναι και ο αριθμός των απολιθωμένων αντιπροσώπων. Στην Ελλάδα, λείψανα κ. έχουν ανακαλυφθεί σε αποθέσεις της τριτογενούς και της τεταρτογενούς περιόδου του καινοζωικού αιώνα, στον Ισθμό της Κορίνθου, στην Περαχώρα, στη Βοιωτία, στην Αττική και στα νησιά Κω και Κάρπαθο. Η ονομασία τους οφείλεται στο κωνικό σχήμα του κοχυλιού τους, το οποίο έχει μήκος περίπου 10 εκ. Έχουν πολύ μυώδη πόδα, ο οποίος ποικίλλει σε χρώμα, και σιφώνιο στην αριστερή πλευρά του κεφαλιού. Τα βράγχια είναι πτερόμορφα και τοποθετημένα στη βάση του σιφωνίου· ο αριθμός και οι διαστάσεις τους ποικίλλουν σημαντικά στα διάφορα είδη. Τα μάτια είναι σχετικά μεγάλα και έμμισχα, αν και οι κ. που ζουν σε μεγάλα βάθη είναι τυφλοί. Συναντώνται γενικά στις τροπικές θάλασσες, κοντά στις ακτές, και είναι σαρκοφάγοι· τρέφονται με ψάρια, τα οποία σκοτώνουν σχηματίζοντας με την προβοσκίδα τους μία τρύπα σε αυτά και εισάγοντάς τους δηλητήριο· έχουν περιγραφεί μάλιστα και περιπτώσεις θανάτωσης ανθρώπων με τον ίδιο τρόπο. Οι κ. είναι δίοικοι οργανισμοί, δηλαδή έχουν ξεχωριστά φύλα, ενώ σε ορισμένα είδη εμφανίζεται και φυλετικός διμορφισμός, που αφορά κυρίως το μέγεθος, το σχήμα και το χρώμα του κοχυλιού.

Το είδος Conus imperialis της οικογένειας των κωνιδών.

Η ονομασία του γένους κώνος οφείλεται στο κωνικό σχήμα του κοχυλιού.

Το είδος Conus marmoreus.

Κοχύλι κώνου του είδους Conus ammiralis.

III

(Γεωμ.). Γεωμετρικό στερεό με κυκλική βάση και κυρτή επιφάνεια, η οποία καταλήγει σε οξεία κορυφή.

Έστω μια ημιευθεία a με αρχή το σημείο V (Σχ. 1). Έστω ακόμα μια γωνία α. Το σύνολο των ημιευθειών του χώρου με κοινή αρχή το σημείο V που η καθεμία σχηματίζει με την ημιευθεία a γωνία α ονομάζεται στη στοιχειώδη γεωμετρία (κυκλική) κωνική επιφάνεια με κορυφή το σημείο V και ημιάνοιγμα α. Καθεμία από τις παραπάνω ημιευθείες ονομάζεται γενέτειρα της κωνικής επιφάνειας. Ένα σημείο Ρ του χώρου θεωρείται ότι είναι εσωτερικό (αντίστοιχα εξωτερικό) της κωνικής επιφάνειας, αν και μόνο αν η ημιευθεία VP σχηματίζει με την ημιευθεία a γωνία μικρότερη (μεγαλύτερη) από τη γωνία α. Η ημιευθεία a ονομάζεται άξονας της κωνικής επιφάνειας. Η κωνική επιφάνεια παράγεται αν μια ημιευθεία από το σημείο V, όπου σχηματίζει γωνία α με τον άξονα a, κάνει μια ολόκληρη στροφή. Το σύνολο των σημείων της κωνικής επιφάνειας και των εσωτερικών της σημείων ονομάζεται κ. με κορυφή το σημείο V και ημιάνοιγμα α. Ονομάζεται ορθός κ. το τμήμα εκείνο που περιέχεται μεταξύ της κορυφής του και ενός επιπέδου που τέμνει κάθετα τον άξονα a (Σχ. 2). Αν το παραπάνω επίπεδο τέμνει πλάγια (όχι κάθετα) τον άξονα a, έτσι ώστε να τέμνει και την κάθε γενέτειρα, τότε το αντίστοιχο τμήμα του κ. ονομάζεται πλάγιος κ. (Σχ. 3). Στην πρώτη περίπτωση η τομή του κ. από το επίπεδο είναι κυκλικός δίσκος, ενώ στη δεύτερη περίπτωση ελλειπτικός. Και στις δύο περιπτώσεις ο δίσκος τομής (κυκλικός ή ελλειπτικός) ονομάζεται βάση του κ. και η απόσταση της κορυφής από το επίπεδο της βάσης ονομάζεται ύψος του κ. Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο κάνει μία ολόκληρη στροφή γύρω από τη μία κάθετη πλευρά του, τότε παράγεται ένας ορθός κ. Ο κ. αυτός ονομάζεται ισοσκελής, αν το τρίγωνο από το οποίο παράγεται είναι ισοσκελές (στον ισοσκελή κ. το ύψος είναι ίσο με την ακτίνα της βάσης του).

Αν θεωρήσουμε δύο επίπεδα παράλληλα μεταξύ τους και προς το ίδιο μέρος της κορυφής ενός κ., τέτοια ώστε να τέμνουν την επιφάνειά του, ορίζεται μεταξύ αυτών ένα τμήμα του κ. το οποίο ονομάζεται κόλουρος κ. Ειδικά αν τα επίπεδα είναι κάθετα στον άξονα του κ., ο αντίστοιχος κόλουρος κ. ονομάζεται ορθός κόλουρος κ. Καθεμία από τις τομές του κ. από τα δύο παράλληλα επίπεδα ονομάζεται βάση του κόλουρου κ. Η απόσταση των βάσεων ονομάζεται ύψος του κόλουρου κ. Έστω ένας ορθός κόλουρος κ. και μια ορισμένη μονάδα μήκους. Έστω ότι ως προς αυτή τη μονάδα μήκους είναι ρ₁, ρ₂ οι ακτίνες των βάσεων του κόλουρου κ., υ το ύψος του και λ η πλευρά του (το μήκος του τμήματος μιας γενέτειρας από τη μία βάση στην άλλη). Έστω επίσης ότι S είναι το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κ., S₀ το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας (μαζί με τις δύο βάσεις) και V ο όγκος του. Τότε ισχύουν οι τύποι:

S = πλ(ρ₁ + ρ₂), S₀ = S + π(ρ₁² + ρ₂²),

.

Αν η ακτίνα της μιας βάσης, για παράδειγμα, η ρ₁ είναι ίση με 0, ρ₁ = 0, τότε ο ορθός κόλουρος κ. είναι ορθός κ. και οι προηγούμενοι τύποι γίνονται:

S = πρλ, S₀ = S + πρ² = πρ(ρ + λ), (θέσαμε ρ αντί του ρ²).

Έστω μια τυχαία καμπύλη Γ στον χώρο και ένα σημείο V το οποίο δεν ανήκει στην καμπύλη Γ. Έστω ένα σημείο Μ το οποίο διαγράφει την καμπύλη Γ. Τότε η ημιευθεία VM παράγει μια επιφάνεια, η οποία ονομάζεται (στην αναλυτική γεωμετρία) κωνική επιφάνεια με κορυφή το σημείο V και οδηγό την καμπύλη Γ. Μια ειδική περίπτωση είναι η (κυκλική) κωνική επιφάνεια της στοιχειώδους γεωμετρίας.κωνική τομή. Έστω μια περιφέρεια κύκλου C και ένα σημείο V το οποίο δεν ανήκει στο επίπεδό της. Το σύνολο των διερχόμενων από το V ευθειών οι οποίες συναντούν τη C ονομάζεται κωνική επιφάνεια. Η επιφάνεια αυτή, έστω S, έχει δύο χοάνες (Σχ. 1). Το σημείο V ονομάζεται κορυφή της S, η C ονομάζεται οδηγός της και καθεμία από τις ευθείες –που περνούν από την κορυφή και συναντούν την οδηγό– γενέτειρα της S.

Έστω μια κωνική επιφάνεια S και ένα επίπεδο π, το οποίο δεν περνά από την κορυφή της, V. Το π τέμνει την S κατά μια καμπύλη η οποία ονομάζεται κωνική τομή. Αν το επίπεδο π τέμνει μόνο τη μία χοάνη της S και δεν είναι παράλληλο με κάποια της γενέτειρα, η τομή ονομάζεται έλλειψη (Σχ. 2). Αν το π είναι παράλληλο σε μία μόνο γενέτειρα, αλλά δεν την περιέχει, τότε τέμνει μόνο τη μία χοάνη της S και η τομή ονομάζεται παραβολή. Τέλος, αν το επίπεδο π είναι παράλληλο με δύο γενέτειρες της S, τότε τέμνει και τις δύο χοάνες της και η τομή ονομάζεται υπερβολή (Σχ 2). Οι καμπύλες αυτές εμφανίζονται και παίζουν σπουδαίο ρόλο τόσο στα καθαρά μαθηματικά όσο και στις εφαρμογές τους. Έτσι, για παράδειγμα, οι τροχιές των πλανητών και των κομητών είναι κωνικές τομές καθώς επίσης οι τροχιές των ηλεκτρονίων στο άτομο του υδρογόνου (μοντέλο των Μπορ-Ράδερφορντ). Ο πρώτος που μελέτησε τις κωνικές τομές ήταν ο Απολλώνιος ο Περγαίος (3ος αι. π.Χ.), ο οποίος τις όρισε ως τομές κωνικής επιφάνειας. Είναι όμως δυνατόν να οριστούν οι κωνικές τομές και με άλλους τρόπους, με βάση χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. Δύο τέτοιες ιδιότητες με μετρικό χαρακτήρα είναι οι εξής:

α) Έστω F ένα σημείο και d μια ευθεία η οποία δεν περνά από το σημείο F. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των σημείων Ρ του επιπέδου των F και d, που ο λόγος a₁/a₂ των αποστάσεών τους από το σημείο F και την ευθεία d είναι σταθερός (έστω e = a₁/a₂), είναι μια κωνική τομή με την προηγούμενη έννοια. Γι’ αυτό τον λόγο η προηγούμενη ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός της κωνικής τομής. Αν είναι e < 1, = 1, > 1 η κωνική τομή είναι, αντίστοιχα, έλλειψη, παραβολή, υπερβολή. Το σημείο F, η ευθεία d και ο λόγος e ονομάζονται αντίστοιχα εστία, διευθετούσα, εκκεντρότητα της κωνικής τομής. Αποδεικνύεται ότι η παραβολή έχει μόνο μία εστία και μία διευθετούσα, ενώ η έλλειψη και η υπερβολή από δύο (Σχ. 3).

β) Αποδεικνύεται επίσης, σχετικά με την έλλειψη και την υπερβολή μόνο, η εξής μετρική ιδιότητα, η οποία μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός τους: αν F₁, F₂ είναι δύο σημεία σε ένα επίπεδο, το σύνολο των σημείων Μ αυτού του επιπέδου τα οποία έχουν την ιδιότητα (MF₁) + (MF₂) = 2α, αντίστοιχα |(MF₁) - (MF₂)| = 2α, όπου α θετικός αριθμός (δεδομένος) και (MF₁), (MF₂) οι αποστάσεις του Μ από τα σημεία F₁, F₂, είναι μια έλλειψη (αντίστοιχα μια υπερβολή) με εστίες τα σημεία F₁, F₂.

Έστω ένα ορθογώνιο σύστημα αναφοράς xOy στο επίπεδο (βλ. λ. αναλυτική γεωμετρία). Αποδεικνύεται ότι κάθε κωνική τομή του επιπέδου xOy παριστάνεται από μια εξίσωση 2ου βαθμού ως προς x, y:

(1) αx² + βxy + γy² + δx + εy + ζ = 0, όπου αβγ ≠ 0.

Αντίστροφα, κάθε εξίσωση, όπως η (1), με τους α, β, ..., ζ πραγματικούς αριθμούς παριστάνει σε ορθογώνιους άξονες xΟy μια κωνική τομή με την αρχική έννοια ή δύο ευθείες (διαφορετικές μεταξύ τους ή και συμπίπτουσες) ή ένα σημείο.

Από την προηγούμενη αναλυτική άποψη ο πρώτος που μελέτησε τις κωνικές τομές ήταν ο Φερμά. Μερικές από τις κυριότερες ιδιότητες των κωνικών τομών είναι οι εξής: έστω C μια κωνική τομή και ε μια ευθεία του επιπέδου της C. Τότε ισχύει ότι η (ε) ή έχει δύο διαφορετικά μεταξύ τους κοινά σημεία με τη C (η ε είναι τέμνουσα της C) ή έχει μόνο ένα κοινό σημείο (δύο συμπίπτοντα) με τη C (η ε είναι εφαπτομένη της C) ή δεν έχει κοινό σημείο με τη C (είναι εξωτερική της C), (Σχ. 4). Αν Α, Β, είναι δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία της C, τότε το ευθύγραμμο τμήμα AB ονομάζεται χορδή της C. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των μέσων παράλληλων χορδών της C είναι ευθεία γραμμή, η οποία ονομάζεται διάμετρος της C. Η διεύθυνση της διαμέτρου και η διεύθυνση των παράλληλων χορδών καλούνται μεταξύ τους συζυγείς (Σχ. 5). Ειδικότερα, στην παραβολή οι διάμετροι είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους και καθεμία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την παραβολή, ενώ στην έλλειψη και στην υπερβολή περνούν από ένα ορισμένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο της έλλειψης ή της υπερβολής και είναι κέντρο συμμετρίας τους. Για τον λόγο αυτό η έλλειψη και η υπερβολή καλούνται κωνικές τομές με κέντρο (η παραβολή δεν έχει κέντρο συμμετρίας). Επίσης στην παραβολή υπάρχει μία μόνο διάμετρος, που είναι και ο άξονας συμμετρίας της (άξονας της παραβολής). Η διεύθυνση της διαμέτρου αυτής είναι κάθετη προς τη συζυγή της διεύθυνση και η τομή της παραβολής με τον άξονά της είναι η κορυφή της (Σχ. 3). Ακόμα στην έλλειψη (και στην υπερβολή) υπάρχουν δύο κάθετες μεταξύ τους διάμετροι με τις διευθύνσεις τους συζυγείς μεταξύ τους. Καθεμία από αυτές είναι ένας άξονας συμμετρίας της έλλειψης (Σχ. 3) ή της υπερβολής (Σχ. 4). Τέλος, αν Μ είναι ένα σημείο του επιπέδου της κωνικής τομής C, τότε από αυτό ή άγονται δύο εφαπτόμενες της C (το Μ είναι εξωτερικό της C) ή άγεται μόνο μία εφαπτόμενη (το Μ είναι εσωτερικό της C). Ειδικά για την υπερβολή υπάρχουν δύο ευθείες από αυτό, προς τις οποίες η υπερβολή πλησιάζει απεριόριστα. Οι ευθείες αυτές ονομάζονται ασύμπτωτες της υπερβολής. Αυτές, στην προβολική γεωμετρία, χαρακτηρίζονται ως οι εφαπτόμενες στα κατ’ εκδοχήν σημεία τομής της υπερβολής με την κατ’ εκδοχήν ευθεία.

Μια προβολική ιδιότητα των κωνικών τομών είναι η εξής: έστω Ρ ένα σημείο του επιπέδου της κωνικής τομής C (το Ρ δεν αποκλείεται να είναι κατ’ εκδοχήν) και μια τέμνουσα P₁P₂ της C από το Ρ. Έστω ακόμα P’ το συζυγές αρμονικό σημείο του Ρ ως προς τα σημεία P₁, P₂ (Σχ. 6). Αν η από το Ρ τέμνουσα της C στρέφεται περί το Ρ, τότε το P’ διαγράφει μια ευθεία ρ στο επίπεδο της C. Η ευθεία αυτή ονομάζεται η πολική του Ρ ως προς την κωνική τομή C και το Ρ ο πόλος της ρ. Αποδεικνύεται επίσης ότι αν ρ είναι μια ευθεία του επιπέδου της κωνικής τομής C και Ρ ο πόλος της, τότε αν ένα σημείο διαγράφει τη ρ, η πολική του στρέφεται περί το Ρ. Με τη βοήθεια της ιδιότητας αυτής κατασκευάζεται η πολική ενός σημείου το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό της C (Σχ. 6, η Q₁Q₂ είναι η πολική του σημείου Ρ ως προς τη C). Αν το Ρ είναι εξωτερικό της C, τότε η πολική του περνά από τα (δύο) σημεία επαφής των από το Ρ εφαπτόμενων της C.

κωνοειδής. Όρος που χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό ενός ορισμένου είδους ευθειογενών επιφανειών. Ονομάζεται κωνοειδής επιφάνεια κάθε επιφάνεια που παράγεται από μια ευθεία, έστω (χ), που κινείται έτσι ώστε να συναντά δύο σταθερές, ασύμβατες ευθείες και μια σταθερή ευθεία (ε), μια σταθερή καμπύλη Κ και να είναι παράλληλος με ένα σταθερό επίπεδο, έστω Ε. Η καμπύλη Κ ονομάζεται οδηγός της κωνοειδούς επιφάνειας, η ευθεία (χ) γενέτειρά της και το επίπεδο Ε οδηγούν επίπεδο. Αν η ευθεία (ε) και το επίπεδο Ε είναι κάθετα, η κωνοειδής επιφάνεια ονομάζεται ορθή. Ένα παράδειγμα τέτοιας (ορθής) επιφάνειας είναι το ελικοειδές· παράγεται από μια ευθεία που κινείται έτσι ώστε να τέμνει κάθετα τον άξονα μιας κυλινδρικής επιφάνειας και μια κυκλική έλικα της επιφάνειας αυτής.

ΚΩΝΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

* * *

ο (AM κῶνος)

1. ο καρπός τών κωνοφόρων και μερικών κυκαδιδών, κουκουνάρι («βάλλει δὲ καὶ ἁ πίτυς ὑψόθε κώνοις», Θεόκρ.)

2. στερεό γεωμετρικό σώμα που έχει ως βάση κύκλο και κυρτή επιφάνεια η οποία απολήγει σε οξεία κορυφή

3. κάθε σώμα που απολήγει σε κωνοειδή κορυφή (α. «ηφαιστειακός κώνος» β. «μυελικός κώνος»)

νεοελλ.

ο καρπός τού αροβοσίτου, κούκλα

μσν.

καρδιά

αρχ.

1. (ως θηλ.) ἡ κῶνος

το πεύκο

2. η κορυφή τής περικεφαλαίας

3. σβούρα με την οποία παίζουν τα παιδιά

4. η πίσσα από κουκουνάρια πεύκου.

[ΕΤΥΜΟΛ. Η λ. συνδέεται πιθ. με αρχ. ινδ. śāna- «λυδία λίθος» < śi-sā-ti «ακονίζω», λατ. cōs «σκληρός λίθος», ενώ κατ' άλλους πρόκειται για δάνεια λ. Τη λ. δανείστηκαν διάφορες ευρωπαϊκές γλώσσες με τη μορφή επιστημον. όρων, πρβλ. coniferae: κωνοφόρα, coniferin: κωνιφερίνη, conodonta: κωνόδοντα.

ΠΑΡ. κωνάριον, κωνικός, κωνίο(ν)

αρχ.

κωνίας, κώνιον, κωνίς, κωνίτις, κωνώ

αρχ.-μσν.

κώνα.

ΣΥΝΘ. (Α' συνθετικό) κωνοειδής, κωνοφόρος

αρχ.

κωνόκαρπος, κωνοκόλουρος, κωνοτομώ. (Β' συνθετικό) αρχ. άκωνος, κολουρόκωνος, πρόκωνος].